PRUEBA DE HIPÓTESIS


I.     Prueba de Hipótesis para la radiación solar

La radiación solar en Bucaramanga es mayor en los primeros meses del año

Para demostrar esta hipótesis, tomamos como primeros los meses desde enero hasta junio y como últimos los meses de julio a diciembre, entonces hallamos las medias de ambos semestres, ya que la media es una medida de centro que caracteriza una serie de datos,  si se prueba que la media de radiación solar del primer semestre es mayor que la media de radiación solar del segundo semestre, podemos concluir que en la  radiación solar de los primeros meses del año es mayor.
Así que, la prueba de hipótesis a realizar es una prueba de diferencia de medias con varianzas desconocidas, ya que no conocemos el valor de ningún parámetro de la población.

Primero debemos asegurarnos que los datos sigan una distribución normal.
Bondad de ajuste para el primer semestre
Esto consiste en realizar una prueba de hipótesis en la cual, se desea saber si la muestra tomada sigue una distribución normal, a un nivel de significancia de 0.01
Sea X: La radiación solar en el primer semestre nuestra variable aleatoria. Nuestras hipótesis nula (H0) y alternativa (H1) son:
H0= X~ N(μ, σ)
H1= No H0
donde μ, σ  son la media poblacional y la desviación estándar poblacional.
Del estudio estadístico descriptivo se obtuvo

Limites de Clase
Frecuencia Absoluta

188-274
13

274-360
21

360-446
27

446-532
25

532-618
24

618-704
30

704-790
23

790-876
5


Estadística Descriptiva sobre la Radiación solar

Rad Solar
Media
522,27381
Varianza
28071,6372
Desv. Est.
167,545926

Calculo del Valor Crítico (χ2)
Calculamos el valor crítico mediante el laboratorio virtual, para poder definir la zona de rechazo y la zona de aceptación

K= Nº de oservaciones-1= 8-1= 7
1-α= 1-0.01= 0.99

Zonas de rechazo y aceptación
Se acepta H0 si:     χ02≤18.48
Se rechaza H1 si:   χ02>18,48

Calculo del Estadístico de Prueba Chi-Cuadrado (χ02)
Calculo de Frecuencia Esperada (Ej)
Para ello se calcula primero la probabilidad de cada intervalo para una distribución normal.

Limites de Clase
Frecuencia Absoluta
125-190
3
190-255
5
255-320
19
320-385
36
385-450
40
450-515
35
515-580
20
580-645
9

Bondad de ajuste para el Segundo semestre

Esto consiste en realizar una prueba de hipótesis en la cual, se desea saber si la muestra tomada sigue una distribución normal, a un nivel de significancia de 0.01
Sea X: La radiación solar en el segundo semestre nuestra variable aleatoria. Nuestras hipótesis nula (H0) y alternativa

 (H1) son:
H0= X~ N(μ, σ)
H1= No H0

donde μ, σ  son la media poblacional y la desviación estándar poblacional.
Del estudio estadístico descriptivo se obtuvo
N=167

Calculo del Valor Crítico (χ2)

Calculamos el valor crítico mediante el laboratorio virtual, para poder definir la zona de rechazo y la zona de aceptación

K= Nº de oservaciones-1= 8-1= 7
1-α= 1-0.01= 0.99

Zonas de rechazo y aceptación

Se acepta H0 si:     χ02≤18.48
Se rechaza H1 si:   χ02>18,48

Calculo del Estadístico de Prueba Chi-Cuadrado (χ02)

Calculo de Frecuencia Esperada (Ej)
Para ello se calcula primero la probabilidad de cada intervalo para una distribución normal.

P1(188≤X<274)= 0,046178296
P2(274≤X<360)= 0,097195555
P3(360≤X<446)= 0,158078653
P4(446≤X<532)= 0,198677969
P5(532≤X<618)= 0,192970455
P6(618≤X<704)= 0,144842042
P7(704≤X<790)= 0,084012215
P8(790≤X<876)= 0,03765

Luego las frecuencias esperadas son:

E1= 0,046178296*168= 7,7579≈     8
E2= 0,097195555*168= 16,328≈     16
E3= 0,158078653*168≈        27
E4= 0,198677969*168 ≈       33
E5= 0,192970455*168≈        32
E6= 0,144842042*168≈        24
E7= 0,144842042*168≈        14
E8= 0,144842042*168≈        6

1.1   Calculo del estadístico

El estadístico se calcula mediante la formula
Donde Oj: frecuezncia observada Ej: frecuencia esperada
Con ayuda de Excel tenemos:

Radiación solar
f esperada
f observada
((E-O)^2)/E
2
3
0,50
7
5
0,57
19
19
0,00
35
36
0,03
43
40
0,21
35
35
0,00
20
20
0,00
8
9
0,13
Chi-Cuad.

1,43

Decisión

Como 1,43≤ 18.48 se acepta la hipótesis, es decir la radiación solar en los últimos meses del año sigue una distribución normal.




Estadística Descriptiva sobre los

Aciertos

Rad Solar
Media
417,889222
Varianza
10206,0223
Desv. Est.
101,02486

P1(188≤X<274)= 0,046178296
P2(274≤X<360)= 0,097195555
P3(360≤X<446)= 0,158078653
P4(446≤X<532)= 0,198677969
P5(532≤X<618)= 0,192970455
P6(618≤X<704)= 0,144842042
P7(704≤X<790)= 0,084012215
P8(790≤X<876)= 0,03765

Luego las frecuencias esperadas son:

E1= 0,046178296*168= 7,7579≈     8
E2= 0,097195555*168= 16,328≈     16
E3= 0,158078653*168≈        27
E4= 0,198677969*168 ≈       33
E5= 0,192970455*168≈        32
E6= 0,144842042*168≈        24
E7= 0,144842042*168≈        14
E8= 0,144842042*168≈        6
Calculo del estadístico
El estadístico se calcula mediante la formula
Donde Oj: frecuencia observada Ej: frecuencia esperada
Con ayuda de Excel tenemos:
Radiación solar
f esperada
f observada
((E-O)^2)/E
8
13
3,13
17
21
0,94
27
27
0,00
34
25
2,38
33
24
2,45
25
30
1,00
15
23
4,27
7
5
0,57
Chi-Cuad.

14,74

Decisión
Como 14,74≤ 18.48 se acepta la hipótesis, es decir la radiación solar en los primeros meses del año sigue una distribución normal.
Sea X1: la radiación de los meses desde enero hasta junio y X2: la radiación de los meses desde julio hasta diciembre las dos variables aleatorias a esta prueba. Nuestras hipótesis nula (H0) y alternativa (H1) son:
H0= µ1≤ µ2
H1= µ1> µ2
Realizando el  estudio estadístico descriptivo tenemos que:
Estadística Descriptiva
1 semestre
2 semestre
Media
522,27381
417,889222
Varianza
28071,6372
10206,0223
Desv. Est.
167,545926
101,02486
Tamaño de la muestra
168
167
            
 
1.      Calculo del Valor Crítico (Z)
Calculamos el valor crítico mediante el laboratorio virtual, para poder definir la zona de rechazo y la zona de aceptación
1-α= 1-0.05= 0.95
1.                  Zonas de rechazo y aceptación
Se acepta H0 si:     Z0≤1.64
Se rechaza H0 si:   Z0>1.64
2.    Calculo del Estadístico de Prueba (Z0)
El estadístico se calcula mediante la formula
1.      Decisión
Como 6.9098≥1.64 se rechaza la hipótesis nula, es decir, se acepta la hipótesis alternativa, por lo que se concluye que la radiación solar de los primeros meses del año respecto a temas de estadística es mayor que la radiación solar de los últimos meses del año a un nivel de significancia de 0.05


1.                  En Bucaramanga la humedad relativa no está relacionada con la temperatura del aire.

Sea X1: los valores de humedad relativa y X2: los valores de temperatura del aire; las dos variables aleatorias de esta prueba. Nuestras hipótesis nula (H0) y alternativa (H1) son:

H0= p=0
H1= p≠0

Realizando el  estudio estadístico descriptivo y gracias a Excel tenemos que:

P= -0,369997307
N=700
                              

1.       Calculo del Valor Crítico (Z)
Calculamos el valor crítico mediante el laboratorio virtual, para poder definir la zona de rechazo y la zona de aceptación, tenemos 700 datos que cuentan como nuestras observaciones el valor de critico es:



1-α= 1-0.05/2= 0.975



1.       Zonas de rechazo y aceptación

Se acepta H0 si:                |t0|≤1.96
Se rechaza H0 si:              |t0|>1.96

2.       Calculo del Estadístico de Prueba (t0)

El estadístico se calcula mediante la formula



1.       Decisión
Como 10.522≥1.96 se rechaza la hipótesis nula, es decir, se acepta la hipótesis alternativa, por lo que se concluye que la en Bucaramanga la humedad relativa si está relacionada con la temperatura del aire.