En esta sección se hace uso de las variables aleatorias como una
herramienta para lograr establecer la función de distribución de probabilidad
que caracteriza el comportamiento estadístico de nuestras variables.
- Variables aleatorias
Las variables aleatorias nos permiten relacionar algún evento con un número,
ya sea entero en el caso de una variable aleatoria discreta o algún valor sobre
la recta real en el caso de las variables aleatorias continuas, esto nos permitirá posteriormente establecer
funciones de distribución para tratar de esbozar el comportamiento de los
vientos alisios y así calcular probabilidades.
- Funciones de distribución discretas y continuas del proyecto.
Analizando gráficamente las tablas de frecuencia de las distintas
mediciones, se ha escogido utilizar las funciones de distribución discretas
binomial para el análisis de pocos eventos, (medición en meses), la de
Poisson para grandes cantidades de eventos (medición en dias) y la función de distribución continua normal.
Distribución Binomial
Es aquella en la que la variable
sólo puede tener dos posibles resultados A y A'. Usualmente A recibe el nombre
de éxito, además representaremos como p = p(A) y q = 1-p=p(A').
A la función de probabilidad de una variable aleatoria X resultado de contar el número
de éxitos al repetir n veces
una experiencia aleatoria dicotómica con probabilidad de éxito p la llamamos distribución binomial y la
representamos por
B (n, p)
Para esta distribución se verifica que, la variable X puede tomar los
valores:
0, 1, 2, ... , n
y que la variable toma cada uno de estos valores con probabilidad:
Un ejemplo podría ser: si el 50% de los días analizados fue soleado es
decir tubo una radiación solar de mas 200 kilovatios por metro cuadrado, y
queremos obtener la probabilidad de que hayan por lo menos 20 días soleados el
próximo mes, entonces n = 30 dias, p=0.5,
y al probabilidad es igual a 1-p(20) = 0,02139.
Distribución de Poisson
Se trata de un modelo discreto, pero en el que el conjunto de valores con
probabilidad no nula no es finito, sino numerable. Se dice que una variable
aleatoria X sigue la distribución de Poisson si su función de
densidad viene dada por:
Como vemos, este modelo se caracteriza por un sólo parámetro λ, que debe ser
positivo. Esta distribución suele utilizarse para contajes del tipo número de individuos por unidad de tiempo,
de espacio, etc.
Un ejemplo aplicado al proyecto
sería: si 300 de los 720 días analizados fueron calurosos es decir presentaron
en promedio una temperatura mayor a 25 grados Celsius, para calcular la
probabilidad de que 15 de los próximos 30 días
sean calurosos, se toma λ =n·p , n= 30 p=300/720 luego λ=12.5 entonces
la probabilidad Poisson (15; 12.5).
Distribución Normal
Se dice que
una variable aleatoria continua X sigue una
distribución normal de parámetros μ y σ y se denota X~N(μ,
σ) si su función de densidad está dada por:
Donde μ es la media y σ es
la desviación estándar.
Se llama distribución
normal "estándar" a aquélla en la que sus parámetros
toman los valores μ = 0 y σ = 1. En este caso
la función de densidad tiene la siguiente expresión:
Luego, la función de distribución de la distribución normal
está definida como sigue:
.svg?uselang=es){kind=link}
Por tanto, la función de distribución de la normal
estándar es:
En resumen se usaran:
- Distribución binomial para casos en el que
el numero de eventos o experimentos
a analizar sea pequeño, como cálculos que indiquen que el orden de
tiempo del experimento sea de un mes, así el número de experimentos será
de él orden de uno o dos años,
- Distribución de Poisson para casos en el
que el numero de eventos o experimentos
a analizar sea grande y la probabilidad sea baja, como cálculos que
indiquen que el orden de tiempo del experimento sea de un días u horas.
- Distribución normal para el caso en que
las variables sean continuas.